플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

모든지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용하는 알고리즘

- 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행

- 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요 X

- 노드의 개수가 N개일 때 N번의 단계를 수행, 단계마다 O(N²) 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐가는' 모든 경로를 고려

- 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N³)

- 각 단계마다 특정한 노드 𝑘를 거쳐 가는 경우를 확인한다

• 𝑎에서 𝑏로 가는 최단 거리보다 𝑎에서 𝑘를 거쳐 𝑏로 가는 거리가 더 짧은지 검사

• 점화식

 

 

다익스트라 알고리즘과의 차이점

다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트를 이용함. 플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있음 (모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문)

→ 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N²)의 시간이 소요됨

 

다익스트라 알고리즘 : 그리디 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘 : 다이나믹 프로그래밍 (노드의 개수가 N일 때, N번의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문)

 

플로이드 워셜 알고리즘 과정

• [초기 상태] 그래프를 준비하고 최단 거리 테이블을 초기화한다

• [Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

• [Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다

최종 결과

- 노드의 개수가 4개이므로 총 [step 4]까지 알고리즘을 수행

- [step 4]의 최단 거리 테이블에 기록되어 있는 내용이 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현

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플로이드 워셜 알고리즘 소스코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

 

 

참조 (그림)

[이것이 코딩 테스트다 with Python] 31강 플로이드 워셜 알고리즘

 

 

참고 서적

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬