다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

자료구조 | 알고리즘

다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

seulll 2024. 2. 1. 17:28

최단 경로 알고리즘 : 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

자주 사용되는 최단 경로 알고리즘 : 다익스트라 최단 경로, 플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘

- 그래프의 특정 노드에서 출발해 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

- '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다.

- 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. → 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

다익스트라 알고리즘 원리

출발 노드를 설정한다.
최단 거리 테이블을 초기화한다.
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

따라서 방문하지 않은 노드 중에서 현재 노드와 최단 거리인 노드를 확인해 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.

다익스트라 알고리즘 구현 방법

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

2. 구현이 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

다음과 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다. 코드로는 가장 간단하게 지수표기법을 활용한다. 1e9라고 사용하면 10억으로 설정할 수 있다. (파이썬에서는 기본으로 1e9를 실수 자료형으로 처리하므로 코드에서는 int(1e9)를 사용)

[Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 처음에는 출발 노드인 1번 노드를 선택한다.

[Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

같은 과정을 반복하면 최종 최단 거리 테이블은 다음과 같다.

최단 거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로부터 출발했을 때 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 노트까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4라는 의미이다.

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의
모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
시간 복잡도는 O(V²) (V는 노드의 개수)

간단한 다익스트라 알고리즘 소스코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

총 O(V) 번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
따라서 전체 시간 복잡도는 O(V²) 이다.
일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를
해결할 수 있지만, 노드의 개수가 10,000개가 넘어간다면 이 코드로는 문제 해결이 어렵다. (개선된 알고리즘 사용)

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다
다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다
최악의 경우에도 시간 복잡도 O(E log V)를 보장하여 해결할 수 있다. (V: 노드의 개수, E: 간선의 개수)

힙

우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다. (우선순위 큐: 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제)
각 노드의 key값이 해당 노드의 자식노드의 key값보다 작지 않거나 크지 않은 완전 이진트리
최소 힙(Min Heap) 과 최대 힙(Max Heap) 이 있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입한다.

[Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

[Step 2] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

[Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

[Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

[Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 3번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

[Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다

[Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 6번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다

[Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다

개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV) 이다.
노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
- 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의
  개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
간단하게는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 O(ElogV) 임을 이해할 수 있다.
- 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV) 로 정리할 수 있다
  - 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 V²으로 볼 수 있고 E는 항상 V² 이하이기 때문이다.
  - O(ElogE) -> O(ElogV²) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)

참조

[이것이 코딩 테스트다] 7. 최단 경로 알고리즘

www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=7 다익스트라 최단 경로 알고리즘 최단 경로 문제 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미함 다양한 문제 상

freedeveloper.tistory.com

참고 서적

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬